Image credit - www.timeanddate.com

ඉයුලර්ගේ සංඛ්‍යාව කියන්නෙ බොහෝ දෙනෙක් හරියට තේරුම් නොගත් දෙයක්. ප්‍රශ්නෙ තමයි මේක ජ්‍යාමිතියේ අර්ථදක්වලා නැති එක. ඒ කිව්වෙ උදාහරණයක් විදියට π(පයි) අගය කියන්නෙ වෘතයක පරිධිය බෙදීම විෂ්කම්භය කියලා ජ්‍යාමිතියේ අර්ථදක්වලා තියනවනේ. ඒත් e (Euler's Number - ඉයුලර්ගේ සංඛ්‍යාව) එහෙම නෑ. e, හැඩයක් පදනම්ව නොහොත් ජ්‍යාමිතිය පදනම්ව නෑ. ඒක "වර්ධනය(growth) හෙවත් වෙනස්වීමේ අනුපාතය/සීග්‍රතාව(rate of change)"ට සම්බන්ධ ගණිතමය නියතයක්. 

අපි බලමු කොහොමද ඒක වර්ධනයට සම්බන්ධ(related) වෙන්නෙ කියලා. ඒ සදහා අපට 17 වෙනි ශතවර්ශයට යන්න වෙනවා. ජේකොබ් බර්නුලි(Jacob Bernoulli) කියන කෙනා සං‍යුක්ත පොළිය ගැන උනන්දුවක් දැක්වූවා...

උදාහරණයක් විදියට අපි හිතමු බැංකුවේ ඔබේ ගිණුමේ රුපියලක් තියනවා කියල. ඒක ගොඩාක් ත්‍යාගශීලී බැංකුවක්.

 ඒ අය ඔබට සෑම අවුරුද්දකම 100% පොලියක් ලබාදෙනවා කියල හිතමු. 

ඒ කියන්නෙ අවුරුද්දකට පස්සෙ ඔබගේ ගිණුමේ රුපියල් 2ක් තියනවා. (තැන්පත් කල මුදල + 100% පොලියෙන් ලැබුනු රුපියල).

රු:1 →(අවුරුද්දකට පසු)→ රු:2

ඒ වෙනුවට සෑම මාස 6කටම වරක් 50% පොලියක් ලබාදෙනවා කියල හිතමු. ඒක කලින් එකට වඩා හොද වේවිද? නැත්නම් කලින්ට වඩා නරක වේවිද?

අපි කලින් තිබුන, අපි තැන්පත් කල රුපියලෙන්ම පටන්ගමු.

මාස 6කට පසු ඔබගේ ගිණුමේ රුපියල් 1 ශත 50ක් තියනවා. (තැන්පත් කළ මුදල + 50% පොලියෙන් ලැබුණු ශත 50). තවත් මාස 6කට පස්සෙ ගිණුමේ රුපියල් 2 ශත 25ක් තියනවා. (දැනට ඇති රු:1.50ක මුදල + එහි 50% පොලියෙන් ලැබුනු මුදල).

රු:1→(මාස 6කට පසු)→ රු:1+රු:0.50(ශත 50)=රු:1.50→(තවත් මාස 6කට පසු)→ රු:2.25

අවුරුද්දකට වරක් 100% පොලියෙක් ලැබුන අගයට වඩා වැඩි අගයක් මාස 6කට වරක් 50% පොලියෙන් ලැබෙන බව පැහැදිලියි. 

මේ ආකාරයට සෑම මාසයකට වරක් (1/12)% ක පොලියක් ලබාදුන්නොත් කෙසේ වේවිද? හොදවේවිද? අපි බලමු. අපි කලින් තිබුන, අපි තැන්පත් කල රුපියලෙන්ම පටන්ගමු.

රු:1 x ( 1 + 1/12 )^12 ලෙස අවුරුද්දකට පසු ඔබේ ගිණුමේ රු:2.61 ක් තියනවා. කලින් අගයන් වලටත් වඩා වැඩියි. වාරයන් ගණන වැඩිවෙන තරමට අගයත් වැවිඩියි.

සෑම සතියකටම වරක් මේ විදියට පොලිය ලබාදුන්නොත් මොකද වෙන්නෙ කියල බලමු.

රු:1 x ( 1 + 1/52 )^52 ලෙස අවුරුද්දකට පසු ඔබේ ගිණුමේ රු:2.69 ක් තියනවා. තව තවත් අගය වැඩි වෙනවා. මෙතන රටාවක් පේනවා නේද?

සෑම දවසකටම වරක් මේ විදියට පොලිය ලබාදුන්නොත් මොකද වෙන්නෙ කියල බලමු.

රු:1 x ( 1 + 1/365 )^365 ලෙස අවුරුද්දකට පසු ඔබේ ගිණුමේ රු:2.71 ක් තියනවා. අපිට සෑම විනාඩියකටම, සෑම තත්පරයකටම, සෑම නැනෝ තත්පරයකටම වරක් මේ ආකාරයට අඛණ්ඩව සිදුකලොත් කෙසේ වේවිද? 

අනන්තය වතාවක් නොහොත්,

සිදුකලොත් අගය කෙසේ වේවිද?  ඒක තමයි මේ බර්නුලිට දැනගන්න ඕන වුනේ. ඒත් එයාට ඒක හොයාගන්න බැරිවුනා. අවුරුදු 50 කට පසු ඉයුලර් ඒක සොයාගත්තා. ඒ අගය වුනේ,

e =  2.7182818284590452…

ඉයුලර් මෙම අගයට e කියල කිව්ව. 

Leonhard Euler

Image credit - en.wikipedia.org

ඔබට මතකනම් අපි, සෑම දවසකටම වරක් මේ විදියට පොලිය ලබාදුන් විට ලැබුන අගය, අපට පැහැදිලියි ඒ අගය ටිකෙන් ටික මේ අගය කරා ලගාවෙනව කියල.  මෙම e අගය අපරිමේය සංඛ්‍යාවක් බව ඉයුලර් ඔප්පු කළා. එයා ඒකට සමීකරණයක් සොයාගත්තා.

මෙහි රටාවක් පේනවා නේද? 2,1,1,4,1,1,6,1,1,8.... මෙලෙස දිගටම රටාව පවතින බව පෙනෙන නිසා මෙය අපරිමේය සංඛ්‍යාවක්. ඒ වගේම ඔහු දශම ස්ථාන 18 කට e හි අගය ලබාගත්තා. ඒ සදහා ඔහු වෙනම සමීකරණයක් භාවිතා කරා.

*4! හෙවත් 4හි ක්‍රමාරෝපිතය ගැන ඔබ දන්නවා ඇති. ( 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24 )

ඉතින් මේ e ගෙන් ඇති වැඩේ මොකක්ද? 

Image credit - www.popularmechanics.com

 

y = e^x හි ප්‍රස්ථාරය ගතහොත් එහි ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයකදී අගය, අනුක්‍රමණය, වර්ගඵලය එකම අගයක් ගන්නා අතර එය 2.718... අගයයි. මෙසේ වන එකම ශිතය මෙයයි. මෙය කලයන(Calculus) සදහා ඉතා වැදගත්‍ ය. තවද ගණිතයේ ඇති බොහෝ සමීකරණවල සංකීර්ණබව අඩුකිරීමට මෙය වැදගත්වේ.

ඉයුලර්ගේ සමීකරණය

මෙහි, 

වේ.

මෙම ලිපිය e (Euler's Number) - Numberphile විඩීයෝව ආශ්‍රයෙන් නිර්මාණය කරනලදී.

වැඩිදුර තොරතුරු සදහා මෙම links වෙත පිවිසෙන්න.

1            2          3            4

සංකීර්ණ ගණිත ගැටලු පවා විසදාගැනිම සදහා මෙම වෙබ් අඩවියට පිවිසෙන්න.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Me -

Linkedin

සාමාන්‍ය පෙළ, උසස් පෙළ, විශ්ව විද්‍යාල සිසුන්ට මෙන්ම ඉංජිනේරුවන්ට, ගුරුවරුන්ට, විද්‍යාඥයින්ට පවා භාවිතා කර විශාල පරාසයක කටයුතු සම්භාරයක් කරගත හැකි පරිගනක භාශාවක් සහ මෘදුකාංගයක් පිළිබදවයි මේ.

Images credits ↓ - www.wolfram.com

මොකක්ද මේ වුල්ෆ්‍රේම් ක්‍රමලේඛන භාශාව (Wolfram Programming Language).

මේක දැනුම පදනම් කරගත් භාශාවක්. ගණනය කිරීම සහ ලෝකය පිළිබද අතිවිශාල දැනුම් සම්භාරයක් ඇතුලත් කර ඇති ක්‍රමලේඛන භාශාවක්. එනිසා රූප සැකසීම(processing images), ජාල සැකසීම(laying out networks), කොටස් මිල ගණන් බැලීම(looking up stock prices), අතුරුමුහුණත් නිර්මාණය(creating interfaces) හෝ ප්‍රශස්තීකරණ ගැටලු විසදීම(solving optimization problems) වැනි සෑම පරාසයකටම අවශ්‍ය ප්‍රාථමිකයන්(primitives) භාශාව තුලම ඇත.

වුල්ෆ්‍රේම් භාෂාව පිළිබඳ එක් වැදගත් දෙයක් නම්, ඔබට අවශ්‍ය නම් එය සම්පූර්ණයෙන්ම අන්තර්ක්‍රියාකාරී ලෙස භාවිතා කළ හැකියි (අන්තර්ජාලයේදී පවා). 

එබැවින් ඔබට යමක් ටයිප් කර වහාම ප්‍රතිඵලය ලබාගත හැකියි.

Wolfram  Mathematica භාවිතා කර කළ හැකි දේ අසීමිතයි.

උදාහරණ ලෙස:

•          මිතුරු ජාලය(Friend network on facebook) ෆේස්බුක් වෙතින් ලබා ගන්නේ කෙසේද යන්නත් එය       දන්නවා.

•          ඔබේ මිතුරන් කණ්ඩායම්(groups) වලට සම්බන්ධ වන්නේ කෙසේද හෝ ඕනෑම මිතුරෙකු අතර ඇති වැඩිම සම්බන්ධතා මොනවාද? යන්න දැක්විය හැකියි.

•          ප්‍රස්තාර න්‍යාය(Graph theory), අනුකලනය, අවකලනය, සාපේක්ෂතා වාදය... එය දන්නවා.

•          වුල්ෆ්‍රේම් භාෂාව බොහෝ දේ කරන්නේ කෙසේදැයි දනී.

Ø  තම පරිගණක කැමරාවෙන් වත්මන් රූපය ලබා ගැනීමට එයින් ලබාගත හැකියි.

Ø  පසුව එය සමාන කොටස් වලට කැඩිය හැකියි.

Ø  එය භාවිතා කර විවිධ ගණනයන් කළ හැකියි.

•          වුල්ෆ්‍රේම් භාෂාව ඇල්ගොරිදම් සහ ගණනයකිරීම පමණක් නොව ලෝකය පිලිබදව ද දනී.

Ø  අද හිරු බැස යන්නේ කීයටදැයි ලබාගත හැකියි.

Ø  හිරු උදාවේ සිට හිරු බැස යෑම දක්වා කාලය ලබාගත හැකියි.

Ø  එය මිනිත්තු බවට පරිවර්තනය කළ හැකියි.

•          ස්වාභාවික භාෂා තේරුම් ගැනීමේ හැකියාව ද මෙයට පවතී. එයින් අදහස් කරන්නේ කුමක්ද යන්න දැනගෙන එයට අදාල වුල්ෆ්‍රේම් භාෂා කේතය ජනනය කළ හැකියි.

Ø  countries in South America ලෙස ඇසිය හැකියි.

Ø  එවිට එම countries list එකක් ලබා ගත හැකියි.

Ø  එම රටවල් වල ජාතික කොඩි ලබාගත හැකියි.

Ø  නැතහොත් රටවල් සහ ඒවායේ ප්‍රමුඛ ධජ වර්ණ සොයාගෙන වගුවක් සෑදීම කල හැකියි.

•          වුල්ෆ්‍රේම් භාෂාව තුල සවිස්තරාත්මක සිතියම් ඇතුලත් කර ඇත.

Ø  බටහිර යුරෝපයේ රටවල අගනගරවල ලැයිස්තුවක් ලබාගත හැක.

Ø  දැන් අපි මේ සියල්ලන්ගේ කෙටිම සංචාරයක් කිරීම සඳහා මේවා බැලීමට යායුත්තේ කුමන අනුපිළිවෙලකටදැයි සොයා ගතහැකියි.

Ø  එම සංචාරය කල යුතු ගමන් මාර්ගය සිතියමකට ගත හැකියි.

• දහස් ගණනක් ඇල්ගොරිතම කාර්යයන්, දත්ත සහ දැනුම් වසම් දහස් ගණනක් වුල්ෆ්‍රේම් භාෂාව තුල ගොඩනගා ඇත.

උදාහරණ ලෙස:

•          ඔබට x තිබේ නම්, ඔබට එයට වටිනාකමක් දිය යුතු නැත, ඔබට එය සංකේතාත්මක x ලෙස භාවිතා කළ හැක. ඔබට x සම්බන්ධ සූත්‍රයක් ටයිප් කළ හැකි අතර සංකේතාත්මකව සූත්‍රය මත ගණනය කිරීමක් කළ හැකිය.

•          ඔබ නොදන්නා කොටසක් සමඟ දත්ත කිහිපයක් ඔබ සතුව ඇතැයි කියමු. ඔබට එය සංකේතාත්මකව සැලකිය හැකිය.

•          ජාලයක් වැනි දෙයක් ගැන කුමක් කිව හැකිද? වුල්ෆ්‍රේම් භාෂාවෙන් එය සංකේතාත්මක ප්‍රකාශනයක් වන අතර එය ප්‍රස්ථාරයක් ලෙස පෙන්වයි. එය සංකේතාත්මකව හැසිරවිය හැකිය.

•          ත්‍රිමාණ ග්‍රැෆික්ස් සදහා ද එලෙසම වේ. අවශ්‍යනම් රූපයේ වගුවක් හෝ භ්‍රමණය කළ අනුවාදයක් සෑදිය හැකිය.

•          ඕනෑම පරිශීලක අතුරුමුහුණතක් ගොඩනගා ගත හැකිය, සියල්ලම සංකේතාත්මක ප්‍රකාශනයකින් නිරූපණය කෙරේ.
•          ලේඛන සහ ලේඛන අංග සමඟද එසේමය.

•          ඔබට ඕනෑම දෙයක ගතික අනුවාදයක් සෑදිය හැකි අතර සෑම දෙයක්ම සංකේතාත්මක ප්‍රකාශනයක් බැවින් ගණනය කිරීම් පහසුවේ.

•           සූත්‍ර හෝ දත්ත කට්ටල, ලේඛන හෝ නගර හෝ වෙනත් ඕනෑම දෙයක් නියෝජනය කරන සංකේතාත්මක කාර්යයන් සමූහයක් කළ හැකියි.

වුල්ෆ්‍රේම් මැතමැටිකා යනු ඇදහිය නොහැකි තරම් බලවත් ක්‍රියාකාරී වැඩසටහන්කරණයකි.

·         සංකේතාත්මකව ශ්‍රිතයක් ප්‍රසාරණය කිරීමට හෝ එසේත් නැත්නම් සංකෝචනය කිරීමට හැකියි.

·         තමන්ගේ වෙබ් අඩවියෙන් හයිපර් ලින්ක් ලබාගෙන එමගින් ප්‍රස්තාරයක් සෑදීම මෙයට කල හැකියි.

·         ඕනෑම වචනයකට (English) අදාළ කර සරල අක්ෂර වින්‍යාස සැකසිය හැකියි.

·         දත්ත සමුදායන්, ග්‍රහලෝක වල දත්ත වලින් වගු, ප්‍රස්තාර සකස්කර ගණනයන් කිරීම කල හැකියි.

රටා මත පදනම් වූ ක්‍රමලේඛනය ඉතා ප්‍රබල හා අද්විතීය ලෙස යොදාගනී. ව්‍යුහයක් ලබා දුන්නොත් ප්‍රතිඵලයක් ලබා දෙයි. නමුත් රටාව නොගැලපේ නම්, එය සංකේතාත්මකව පවතිනු ඇත.

වුල්ෆ්‍රේම් භාෂාව විශාල භාෂාවක් වන අතර එය මෙතෙක් පැවති විශාලතම භාෂාව වන නමුත් එය ගොඩනගා ඇත්තේ කුඩා ප්‍රබල මූලධර්ම සමූහයක් මත ය.

පළමුවැන්න සුසංයෝගයයි, භාෂාවේ සෑම දෙයක්ම එකට ගැලපිය යුතුය යන අදහස. භාෂාවේ සෑම අස්සක් මුල්ලක් නෑරම එය හැකි තරම් ස්ථාවර හා ඒකාබද්ධ හා ඒකාබද්ධ වී ඇත. එබැවින් එය තේරුම් ගැනීම පහසුය.

තවත් මූලධර්මයක් ඇත, උපරිම ස්වයංක්‍රීයකරණය, භාෂාව හැකිතාක් තමාගැන බලාගත යුතුය යන අදහස. එනම් මෙම භාශාවට විවිධ විෂයන් පිළිබද දැනුම මෙන්ම ඒවාගේ දත්ත ද ඇතුලත් කර ඇත.

මැතමැටිකා හි සියල්ල ප්‍රභේධයන්ට(Category) වෙන්කර ඇති නිසා පහසුවෙන් අවශ්‍ය කේතයන් සොයාගෙන ඒවා අපට අවශ්‍යා ලෙස වෙනස් කරමින් භාවිතා කල හැක. 

මෙම ලිපිය Stephen Wolfram's Introduction to the Wolfram Language වීඩියෝවේ සං‍රක්ශිත සිංහල පරිවර්තනයයි. 

වැඩි විස්තර සදහා මෙතනින් පිවිසෙන්න.