Image credit - www.timeanddate.com

ඉයුලර්ගේ සංඛ්‍යාව කියන්නෙ බොහෝ දෙනෙක් හරියට තේරුම් නොගත් දෙයක්. ප්‍රශ්නෙ තමයි මේක ජ්‍යාමිතියේ අර්ථදක්වලා නැති එක. ඒ කිව්වෙ උදාහරණයක් විදියට π(පයි) අගය කියන්නෙ වෘතයක පරිධිය බෙදීම විෂ්කම්භය කියලා ජ්‍යාමිතියේ අර්ථදක්වලා තියනවනේ. ඒත් e (Euler's Number - ඉයුලර්ගේ සංඛ්‍යාව) එහෙම නෑ. e, හැඩයක් පදනම්ව නොහොත් ජ්‍යාමිතිය පදනම්ව නෑ. ඒක "වර්ධනය(growth) හෙවත් වෙනස්වීමේ අනුපාතය/සීග්‍රතාව(rate of change)"ට සම්බන්ධ ගණිතමය නියතයක්. 

අපි බලමු කොහොමද ඒක වර්ධනයට සම්බන්ධ(related) වෙන්නෙ කියලා. ඒ සදහා අපට 17 වෙනි ශතවර්ශයට යන්න වෙනවා. ජේකොබ් බර්නුලි(Jacob Bernoulli) කියන කෙනා සං‍යුක්ත පොළිය ගැන උනන්දුවක් දැක්වූවා...

උදාහරණයක් විදියට අපි හිතමු බැංකුවේ ඔබේ ගිණුමේ රුපියලක් තියනවා කියල. ඒක ගොඩාක් ත්‍යාගශීලී බැංකුවක්.

 ඒ අය ඔබට සෑම අවුරුද්දකම 100% පොලියක් ලබාදෙනවා කියල හිතමු. 

ඒ කියන්නෙ අවුරුද්දකට පස්සෙ ඔබගේ ගිණුමේ රුපියල් 2ක් තියනවා. (තැන්පත් කල මුදල + 100% පොලියෙන් ලැබුනු රුපියල).

රු:1 →(අවුරුද්දකට පසු)→ රු:2

ඒ වෙනුවට සෑම මාස 6කටම වරක් 50% පොලියක් ලබාදෙනවා කියල හිතමු. ඒක කලින් එකට වඩා හොද වේවිද? නැත්නම් කලින්ට වඩා නරක වේවිද?

අපි කලින් තිබුන, අපි තැන්පත් කල රුපියලෙන්ම පටන්ගමු.

මාස 6කට පසු ඔබගේ ගිණුමේ රුපියල් 1 ශත 50ක් තියනවා. (තැන්පත් කළ මුදල + 50% පොලියෙන් ලැබුණු ශත 50). තවත් මාස 6කට පස්සෙ ගිණුමේ රුපියල් 2 ශත 25ක් තියනවා. (දැනට ඇති රු:1.50ක මුදල + එහි 50% පොලියෙන් ලැබුනු මුදල).

රු:1→(මාස 6කට පසු)→ රු:1+රු:0.50(ශත 50)=රු:1.50→(තවත් මාස 6කට පසු)→ රු:2.25

අවුරුද්දකට වරක් 100% පොලියෙක් ලැබුන අගයට වඩා වැඩි අගයක් මාස 6කට වරක් 50% පොලියෙන් ලැබෙන බව පැහැදිලියි. 

මේ ආකාරයට සෑම මාසයකට වරක් (1/12)% ක පොලියක් ලබාදුන්නොත් කෙසේ වේවිද? හොදවේවිද? අපි බලමු. අපි කලින් තිබුන, අපි තැන්පත් කල රුපියලෙන්ම පටන්ගමු.

රු:1 x ( 1 + 1/12 )^12 ලෙස අවුරුද්දකට පසු ඔබේ ගිණුමේ රු:2.61 ක් තියනවා. කලින් අගයන් වලටත් වඩා වැඩියි. වාරයන් ගණන වැඩිවෙන තරමට අගයත් වැවිඩියි.

සෑම සතියකටම වරක් මේ විදියට පොලිය ලබාදුන්නොත් මොකද වෙන්නෙ කියල බලමු.

රු:1 x ( 1 + 1/52 )^52 ලෙස අවුරුද්දකට පසු ඔබේ ගිණුමේ රු:2.69 ක් තියනවා. තව තවත් අගය වැඩි වෙනවා. මෙතන රටාවක් පේනවා නේද?

සෑම දවසකටම වරක් මේ විදියට පොලිය ලබාදුන්නොත් මොකද වෙන්නෙ කියල බලමු.

රු:1 x ( 1 + 1/365 )^365 ලෙස අවුරුද්දකට පසු ඔබේ ගිණුමේ රු:2.71 ක් තියනවා. අපිට සෑම විනාඩියකටම, සෑම තත්පරයකටම, සෑම නැනෝ තත්පරයකටම වරක් මේ ආකාරයට අඛණ්ඩව සිදුකලොත් කෙසේ වේවිද? 

අනන්තය වතාවක් නොහොත්,

සිදුකලොත් අගය කෙසේ වේවිද?  ඒක තමයි මේ බර්නුලිට දැනගන්න ඕන වුනේ. ඒත් එයාට ඒක හොයාගන්න බැරිවුනා. අවුරුදු 50 කට පසු ඉයුලර් ඒක සොයාගත්තා. ඒ අගය වුනේ,

e =  2.7182818284590452…

ඉයුලර් මෙම අගයට e කියල කිව්ව. 

Leonhard Euler

Image credit - en.wikipedia.org

ඔබට මතකනම් අපි, සෑම දවසකටම වරක් මේ විදියට පොලිය ලබාදුන් විට ලැබුන අගය, අපට පැහැදිලියි ඒ අගය ටිකෙන් ටික මේ අගය කරා ලගාවෙනව කියල.  මෙම e අගය අපරිමේය සංඛ්‍යාවක් බව ඉයුලර් ඔප්පු කළා. එයා ඒකට සමීකරණයක් සොයාගත්තා.

මෙහි රටාවක් පේනවා නේද? 2,1,1,4,1,1,6,1,1,8.... මෙලෙස දිගටම රටාව පවතින බව පෙනෙන නිසා මෙය අපරිමේය සංඛ්‍යාවක්. ඒ වගේම ඔහු දශම ස්ථාන 18 කට e හි අගය ලබාගත්තා. ඒ සදහා ඔහු වෙනම සමීකරණයක් භාවිතා කරා.

*4! හෙවත් 4හි ක්‍රමාරෝපිතය ගැන ඔබ දන්නවා ඇති. ( 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24 )

ඉතින් මේ e ගෙන් ඇති වැඩේ මොකක්ද? 

Image credit - www.popularmechanics.com

 

y = e^x හි ප්‍රස්ථාරය ගතහොත් එහි ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයකදී අගය, අනුක්‍රමණය, වර්ගඵලය එකම අගයක් ගන්නා අතර එය 2.718... අගයයි. මෙසේ වන එකම ශිතය මෙයයි. මෙය කලයන(Calculus) සදහා ඉතා වැදගත්‍ ය. තවද ගණිතයේ ඇති බොහෝ සමීකරණවල සංකීර්ණබව අඩුකිරීමට මෙය වැදගත්වේ.

ඉයුලර්ගේ සමීකරණය

මෙහි, 

වේ.

මෙම ලිපිය e (Euler's Number) - Numberphile විඩීයෝව ආශ්‍රයෙන් නිර්මාණය කරනලදී.

වැඩිදුර තොරතුරු සදහා මෙම links වෙත පිවිසෙන්න.

1            2          3            4

සංකීර්ණ ගණිත ගැටලු පවා විසදාගැනිම සදහා මෙම වෙබ් අඩවියට පිවිසෙන්න.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Me -

Linkedin