0.999... නැත්නම් 0.(9) නම් අපරිමිත දශම ඇත්තටම  1 ට සමානයි.ඒක වෙන්නෙ කොහොමද?
හොදයි,ඒක අපි මෙහෙම පැහැදිලි කරගනිමු.

පළමුව,එක බෙදුවම තුනෙන් ලැබෙන්නේ 0.333...වන අපරිමිත දශම.පසුව 0.(3) ගුණකරාම 3න් 0.(9)යි.
නමුත් ඒක 1ම තමයි.මොකද යම් අංකයක් එකම අංකයකින් ගුණකරල බෙදුවම කලින් අංකයමයි ලැබෙන්නෙ.
වෙනසක් වෙන්නෙ නෑ.ගණිතමය විදියට බැලුවොත්:

1/3=0.333,හෝ 0.(3)
0.(3)*3=0.(9),
නමුත් 1/3*3=1,
එමනිසා 1=0.(9)

ඔයාට මේ විදියට හිතන්න පුලුවන්:
x        =0.999...
10x    =9.999...
10x-x =9.999...-0.999...
9x      =9
x        =1 

පුංචිකාලෙ අපිට ඍණයි ඍණයි ධනයි කිව්වම අපි ඉතිං ප්‍රශ්න නොකර පිලිගත්ත.ඒත් ඇහුවත් ගොඩක් දෙනෙක් දන්නෙ නැති දෙයක් තමයි මේක පැහැදිලි කරන  විදිය.අද අපි බලමු ඒක පැහැදිලි කරන හැටි.

ණය 
ණය, ඍණ සංඛ්‍යාවලට හොද උදාහරණයක්.අපි හිතමු ඔයා ඔයාගෙ නිවස උගස් තිබ්බ කියල.
එක මාසෙකට රු.700 ගෙවන්න ඕන කියල හිතමු.ඔයා මාස 6 යනකන් ගෙව්වෙ නෑ.(+6)
ඒ කියන්නෙ ඔයා එක මාසෙකට -රු.700 ගානෙ ණයයි.ඒ කියන්නෙ 
6 * -රු.700 = -රු.4,200 
මෙය ධන ඍණ ගුණිතයකට උදාහරණයක්.
දැන් ඔයා හිතනවා තව අවුරුද්දකට හරියන්න ගෙවන්න.ඒ කියන්නෙ  තව මාස 12 කට කලින්.(-12)
ඒ කියන්නෙ ඔයා දැන් රු.8,400 ගෙවනවා.
-12 * -රු.700=රු.8,400 

ඒක තේරුනේ නැත්නම් තව සරල උදාහරණයක් බලමු.
හිතන්න ඔයා නිමල්ට රු.100ක් ණයයි.
නිමල් ඔයාගෙන් රු.10 ගානෙ(-රු.10),තුන්වතාවක් ඉල්ලගන්නව(-3).*ඒ කියන්නෙ
එයා ඔයාට ආපහු රු.30ක් දෙන්න ඕන.ඒ කියන්නෙ ඔයා දැන් රු.70යි ණය. 
-රු.10 * -3 = +රු.30
(*තුන් වතාවක් ඉල්ලාගැනීම(ඉවතටගැනීම) නිසා තමයි -3 වුනේ.
රු.100න් අඩු විය යුතු නිසා තමයි -රු.10 වුනේ.)

දැන් අපි බලමු ගණිතමය විදියට ඔප්පු කරන හැටි. 

A Proof

Let a and b be any two real numbers. Consider the number x defined by

x = ab + (-a)(b) + (-a)(-b).

We can write

x = ab + (-a)[ (b) + (-b) ]       (factor out -a)
  = ab + (-a)(0)
  = ab + 0
  = ab.

Also,

x = [ a + (-a) ]b + (-a)(-b)      (factor out b)
  = 0 * b + (-a)(-b)
  = 0 + (-a)(-b)
  = (-a)(-b).

So we have      x = ab
and
      x = (-a)(-b)

Hence, by the transitivity of equality, we have
      ab = (-a)(-b).

වැඩි විස්තර සදහා මෙතනින් පිවිසෙන්න.

වැඩි විස්තර සදහා මෙතනින් පිවිසෙන්න.

ප්‍රෙහෙලිකාව 1.

රසකැවිලි වෙළෙන්දෙකුට විනිවිද නොපෙනෙන බඳුන් තුනක් ලැබිණ.එක බඳුනක මින්ට් රසකැවිලි අඩංගු වේ,අනෙකේ, ඇනිසීඩ් රසකැවිලිද,අනෙක් බඳුනේ මින්ට් සහ ඇනිසීඩ් මිශ්‍ර රසකැවිලිද අඩංගුය.

එම බඳුන් "මින්ට්" ,"ඇනිසීඩ්" සහ "මිශ්‍ර" ලෙස ලේබල් කර ඇත .නමුත් රසකැවිලි වෙළෙන්දා පැවසුවේ ලේබල් අලවා ඇත්තේ වැරදි බඳුන්වල බවයි.රසකැවිලි වෙළෙන්දාහට එම රසකැවිලි බඳුන් නිවැරදිව හඳුනාගැනීමට ඉන් ගතයුතු අවම රසකැවිලි ගණන කොපමණද?

පිළිතුර 1.

සමහර විට ඔබ සිතාවි මෙහෙම."ඒක ලෙහෙසියි,ඔයා බඳුන් වලින් එක ගානේ අරගෙන බලනවා."

නමුත් ඔයාට මිශ්‍ර එකෙන් ගන්න වෙන්නෙත් එක මින්ට් එකයි හෝ ඇනිසීඩ් එකයි.

ඔයා කොහොමද දන්නේ මිශ්‍ර එක මොකක්ද කියල?ඔයාට එහෙකට වඩා අරගන්න වෙනවා.

එහෙනම්, ඔයා තුනක් අරගන්න,එතකොට ඒ සේම ඇනිසීඩ් නම් ඔයාට සහතික කරගන්න පුළුවන්නේ

ඒක ඇනිසීඩ් බඳුන බව?...අහන්නේ අවම ගණන...මේක සම්භාව්‍යතාවය ගැන ගැටළුවක්.

එක රසකැවිල්ලක් අරගමු,සැඟවුන උපකාරය තමයි:හැම පෙට්ටියක්ම වැරදියට ලේබල් කරල.

එහෙමනම්,ඔයා මිශ්‍ර කියල ලේබල් කරපු එකෙන් එකක් අරගන්නවා.මොකද මිශ්‍ර වෙලා තියන එක ඒක වෙන්න බෑ.ගත්ත එක මින්ට් රසකැවිලි නම්,ඒක තමයි මින්ට් බඳුන.එතකොට මිශ්‍ර එක ?ඒක මින්ට් කියල ලේබල් කරපු බදුන වේවිද?නෑ.මොකද එයාලා වැරදියට ලේබල් කරල.ඒනිසා මිශ්‍ර එක තියෙන්නේ ඇනිසීඩ් කියල ලේබල් කරපු එකේ. එතකොට ඇනිසීඩ් රසකැවිලි තියෙන්නේ මින්ට් කියල ලේබල් කරපු එකේ.පිළිතුර තමයි:එක රසකැවිල්ලයි.

ප්‍රෙහෙලිකාව 2.

හොඳින් මුද්‍රා තැබූ කාමරයක දැල්වෙන විදුලි බුබුලක් තියනව,කාමරයෙන් පිටත ස්විච තුනක් තියනව.

තුනෙන් එකක් බල්බ් එක පත්තු කරවනවා.දොර වහල තියෙද්දී,ඔයාට නිතරම වගේ කැමති ස්විච දමන්න පුළුවන්.ඒත් ඔයා දොර අරිනකොට,ඔයාට කියන්න සිද්දවෙනවා ස්විච් තුනෙන් මොන ස්විච් එකද බල්බ් එක පත්තු කරන්නේ කියල.

පිළිතුර 2.

හිතමුකෝ අපි ස්විච් දෙකක් එබුවා,1 සහ 2.අපි දොර අරිනව විදුලි බුබුල දැල්වුනේ නැහැ.ඒ කියන්නේ හරි ස්විච් එක තමයි 3.ඒත්...විදුලි බුබුල දැල්වුනා නම්...?(විදුලි බුබුල දැල් වීමටද සම සම්භාවිතාවක් පවතී.)

උපක්‍රමේ තමා බල්බ් වල උණුසුම!අපි ස්විචයක් දානවා, 1. ටික වෙලාවක් එහෙම තියෙන්න දෙනව.ඊළගට ඒක ක්‍රියා විරහිත කරනව,දෙවැනි ස්විච් එක දාල දොර අරිනවා.බල්බ් එක පත්තුවුනොත්,නිවරදි ස්විච් එක තමයි දෙවැනි එක.ඒක පත්තුවෙන්නේ නැතුවත් රස්නෙයිනම්,නිවැරදි ස්විච් එක පලවෙනි එක,ඒක ක්‍රියා විරහිතයි සහ රත්වෙලා නැත්තම්,නිවැරදි ස්විච් එක තුන්වෙනි එක.

ප්‍රෙහෙලිකාව 3.

මිනිත්තු 4ක සහ මිනිත්තු 7ක වැලි ඔරලෝසු දෙකක් පාවිච්චි කරල මිනිත්තු 9ක කාලපරිච්ජේදයක්

වෙන් කරන්නේ කොහොමද?

Image credit - www.stperegrineparish.org

පිළිතුර 3.

ඔබ මතක තබාගතයුතු කරුණක් වන්නේ වැලි ඔරලෝසුවකින් එහි නියමිත අගයට වඩා අඩු කිසිම කාලයක් මැනගත නොහැකිය.එනම් විනාඩි 7 වැලි ඔරලෝසුවෙන් විනාඩි 5ක් මැනීම වැනි.මැනගත හැක්කේ 7 ගුණාකාර පමණි.නමුත් මෙහි ඔරලෝසු දෙකක් ඇත.අපි ඔරලෝසු දෙකම එකම වෙලාවට ක්‍රියාත්මක කරනව,මිනිත්තු 4 එකයි 7 එකයි.හතරවෙනි එක ඉවර උනාම මිනිත්තු හතරක් ගිහින් ඉවරයි.ඊළගට ඒක අනිත් පැත්ත හරවනවා.මිනිත්තු තුනකින් මිනිත්තු 7 එක ඉවරයි.අපි ඒක අනිත් පැත්ත හරෝනව.මිනිත්තු 4 එක දෙවැනි වතාවට අවසන් උනහම,මිනිත්තු 8ක් ගතවෙලා.ඒත් මිනිත්තු හතේ එකේ ගතවෙලා තියෙන්නේ විනාඩියයි.අපි ඒක අනිත් පැත්ත හරෝනව.එතකොට අපිට විනාඩි නමයක් ලැබෙනවා.

ප්‍රෙහෙලිකාව 4.

අසත්පුරුෂ භුමියේ හැම කෙනාම හැම වෙලේම බොරුකරනවා.සත්‍ය භූමියක,හැම කෙනාම හැම වෙලේම ඇත්ත කියනවා.දොරවල් දෙකක් තියන කාමරයක අමුත්තෙක් සිටිනවා.එක දොරක් නිදහස සදහාත් අනෙක් දොර එහි සිරවීම සදහාත්.දොරක් අසල සත්‍ය භුමියේ අය මුර කරනව.අනෙක් දොර අසල අසත්පුරුෂ භුමියේ අය.නිදහසේ දොර සොයාගැන්මට, අමුත්තාට එක මුරකරුවෙකුගෙන් එක ප්‍රශ්නයක් පමණක් ඇසිය හැක,

නමුත් ඔහු දන්නේ නෑ මොන මුරකරුවන්ද අසත්පුරුෂ භුමියේ අය වෙන්නේ,සත්‍ය භුමියේ අය වෙන්නේ කියල.එයා අහන ප්‍රශ්නේ මොකක්ද?

පිළිතුර 4.

එක මුරකාරයෙක් හැම වෙලේම ඇත්ත කියනවා ඒ ඔයා කියල හිතන්නකෝ.අනිත් කෙනා බොරු කියනවා, ඒ නිමල්...මම තමා කාමරේ හිරවෙලා ඉන්න කෙනා.මං ඇහුවොත් මොන දොරද හරි දොර කියල...මම දන්නේ නෑ කවුද බොරු කියන්නේ කියල,හිතාගන්න බෑ.නමුත් මං ඔයාගෙන් ඇහුවොත් හරි දොර මොකක්ද කියල නිමල් මොකක් කියාවිද කියල...හැම වෙලේම ඇත්ත කියන කෙනා විදියට ඔයා මට කියනවා එයා අරක(වැරදි දොර) කියාවි කියල. ඒ කියන්නෙ මම එයාලගෙන් අහන්න ඕන අනිත් කෙනා නිවැරදි දොර මොකක්ද කියල කියාවිද කියල.ඔය දෙන්නම වැරදි දොර පෙන්නනව,එතකොට මං අනිත් දොර තෝරාගන්නවා.

ප්‍රෙහෙලිකාව 5.

මෙම අංක පේලියෙහි රටාවක් සොයාගන්න.

8,5,4,9,1,7,6,10,3,2

පිළිතුර 5.

මෙම පේලියෙහි ඇති අංක වලට කියන ඉංග්‍රීසි නම සැලකූ විට ඉංග්‍රීසි හෝඩියේ අකාරාදී පිලිවෙලට ඇත.

ප්‍රශ්නය 6.

සසම්භාවී කාර්ඩ් පත් 20ක් පෙළට මුහුණ පහළට තියල තියෙනව.පහළට හරවා ඇති කාඩ් පතක් ඉහළට හරවා එයට දකුණු පස කාඩ් පත විරුද්ධ පැත්ත හැරවීමේ පියවරක්.හැරවීමට මොන කාඩ් පත තෝරගත්තත් මේ පියවර අනුපිළිවෙල අවසන් වන බව පෙන්වන්න.

පිළිතුර 6.

අපි කාඩ් දෙස බලන්න ඕනෙ කාඩ් ලෙස නෙවෙයි,අංක ලෙස.අපිට පුළුවන් මුහුණ පහළට ඇති කාඩ් හඳුන්වන්න "එක" කියල.මුහුණ ඉහලට ඇති කාඩ් පත් "බිංදු" කියල.මුලින් "එකේ" ඒව අනුපිළිවෙලක් වෙන්න ඕනෙ කාඩ් මුහුණ පහලට නිසා.ඒත් ටික වෙලාවකට පස්සෙ ඒක මේ වගේ වෙන්න ඕනෙ.

10011010

අපිට පේන විදිහට, ඒක ද්වීමය සංඛ්‍යාවක්.එතකොට මුහුණ පහළට ඇති කාඩ්පතක් මුහුණ ඉහලට හරවල ඒකට දකුණු පැත්තෙ කාඩ් එක විරුද්ධ පැත්ත හැරවීමේ පියවර "එක" ට පස්සෙ "එක" හැරවෙන්න පුළුවන් "බිංදුව" ට පස්සෙ "බිංදුව" බවට.

10000010

ඒක මේ වගේ. නැත්තම් ඒක "එක" ට පස්සෙ "බිංදුව" හැරවෙන්න පුළුවන් "බිංදුව" ට පස්සෙ "එක" ට.

10000001

කොහොමවුණත්, අපිට පේනව ද්වීමය ලෙස තියන සංඛ්‍යාව නිතිමතින් අඩු වෙන බව.ඒ කියන්නෙ අනුපිළිවෙල අවසන් වෙන්න ඕනෙ.මොකද ඔයාට බෑ ධන නිඛිලයක ඉඳන් දිගටම අඩු කරන්න ඒක ඍණ බවට හරවන්නෙ නැතුව.

 

**මෙම ප්‍රහේලිකා La Habitación de Fermat (Fermat's Room)(2007)  චිත්‍රපටයෙන් උපුටාගන්නා ලදී.

මෙම උපකරණය භාවිතා කරනුයේ අහසේ ඇති වස්තූන් සහ උස වස්තූන් ගේ උන්නතාංශය මැනීම සදහාය.

පළමුවෙන් පහත ලින්ක් එක ඔස්සේ ගොස් මිනුම් කොලය බාගත කරගෙන එය කොලයකට මුද්‍රණය කරගන්න.
astrolabe drawing.

පසුව එය කාර්ඩ් බෝර්ඩ් කැබැල්ලක අලවා කපාගන්න.පසුව සිදුරු පංචරයක් යොදාගනිමින් රූපයේ දක්වා ඇති පරිදි එම ස්ථාන සිදුරු කරගන්න.

පසුව එයට කුඩා බට කැබැල්ලක්(බීම බටයක් තරමේ) සෙලෝටෑප් භාවිතාකර අලවාගෙන පසුව රූපයේ පරිදි සිදුරක් විදගෙන නූලක් දමන්න.

පසුව රූපයේ පරිදි එම නූලෙන් පොඩි ස්කන්ධයක් එල්ලන්න.

Images credit - http://200.144.244.96/cda/cursos-especiais/minicurso-OC-apresent/

 

වැඩි විස්තර සදහා මෙතනින් පිවිසෙන්න.

ගණිතයෙහි, ෆිබොනාච්චි සංඛ්‍යා හෝ ෆිබොනාච්චි අනුක්‍රම හෝ ෆිබොනාච්චි ශ්‍රේණි යනු පහත නිඛිල අනුක්‍රමය අනුගමනය කරන සංඛ්‍යා වෙයි:

හෝ, විකල්ප වශයෙන්,

අර්ථ දැක්වීම අනුව, ෆිබොනාච්චි අනුක්‍රමයෙහි පළමු සංඛ්‍යා දෙක 0 සහ 1 (විකල්ප වශයෙන්, 1 සහ 1) වන අතර, එක් එක් අනුයාත සංඛ්‍යාව පෙර සංඛ්‍යා දෙකෙහි එකතුව වෙයි.

ගණිතමය භාෂිතය අනුව, F_n යන ෆිබොනාච්චි සංඛ්‍යා අනුක්‍රමය අර්ථ දැක්වෙන්නේ පහත පුනරාවර්තන සම්බන්ධය පරිදීය

${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2},\!\,}$

මෙහ සන්තති අගයයන් පළමු ආකාරයෙහිදී

${\displaystyle F_{0}=0,\;F_{1}=1}$

වන අතර, දෙවන ආතාරයෙහිදී

වෙයි.

ෆිබොනාච්චි ලෙසින්ද හැඳින්වුනු පීසාහී ලියොනාර්ඩෝ අනුව යමින් ෆිබොනාච්චි අනුක්‍රමය නම් තබා ඇත. පෙරදී ඉන්දියානු ගණිතයෙහි මෙම අනුක්‍රමය විස්තර කර තුබුණද, ෆිබොනාච්චිගේ 1202 ග්‍රන්ථය ලිබර් අබාසි තුලින් මෙම අනුක්‍රමය බටහිර යුරෝපීය ගණිතය වෙතට හඳුන්වා දෙන ලදි.

Image credit - mathandmultimedia.com

පාදවල දිග අනුයාත ෆිබොනාච්චි සංඛ්‍යාවලට අනුරූප වන ආකාරයේ සමචතුරස්‍ර ඇසුරින් කළ ඇතිරුමක් ඉහත දැක්වේ

Image credit - towardsdatascience.com

ඉහත දක්වා ඇති ඇතිරුමෙහි සමචතුරස්‍රයන්හි ප්‍රතිවිරුද්ධ ශීර්ෂ යා කරමින් චාප ඇඳීම මඟින් නිර්මාණය කරගත් ෆිබොනාච්චි සර්පිලය මෙහි දැක්වේ; මෙය භාවිතා කරන්නේ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, සහ 34 යන ප්‍රමාණයේ සමචතුරස්‍ර වෙති.

Image credit - www.pinterest.com

 

DNA සැකැස්මේ සිට ජනගහන වර්ධනය වැනි කාරණා දක්වාම ක්‍රියාත්මක වන්නේත් මේ සොබාදහමේ අපූරු සංකල්පයයි.

1.වැඩි විස්තර සදහා මෙතනින් පිවිසෙන්න.
2.වැඩි විස්තර සදහා මෙතනින් පිවිසෙන්න.

ශ්‍රී ලංකාවේ ගණිත ඔලිම්පියාඩ් පදනමේ වෙබ් අඩවියට මෙතනින් පිවිසෙන්න.
තරග වලට සහභාගි වීමට අයදුම්පත්,විභාග ප්‍රතිපල,පසුගිය ප්‍රශ්නපත්‍ර මෙහිදි ලබාගත හැක.




************************* වෙනත් *********************
චුල්ල ගණිතයාගේ සටහන් පොත බ්ලොග් අඩවියට මෙතනින් පිවිසෙන්න.

ගණිතඥයින්,ගණිතය පිලිබද ඇති, ඔබ නැරඹිය යුතුම චිත්රපට කිහිපයක පහත ඇත.



A Brilliant Young Mind (2014)| [සිංහල උපසිරසි සමඟ]

Image credit - www.blu-ray.com

La Habitación de Fermat (Fermat's Room)(2007) | [සිංහල උපසිරැසි සමඟ]

Image credit - www.impawards.com

The Man Who Knew Infinity (2016) with Sinhala Subtitles | [සිංහල උපසිරැසි සමඟ]

Image credit - www.imdb.com

ගණිතයට ආදරය කරන සියලු දෙනා කියවිය යුතු පොත් කිහිපයක් පහත දක්වා ඇත.

අනතෝලි මර්කුෂා විසින් රචිත ''ඉංජිනේරුවකු වීමට ඔබ කැමතියි ද?: කුතුහලය සහිත වූවන් සදහා'' කෘතිය. 

 (Miracles on Wheels: A Book for Inquiring Minds by  Anatoly Markusha)

වයි.පෙරෙල්මාන් විසින් රචිත '' ගණිත විනෝදය ''  

(Mathematics can be Fun - Book one - Figures for Fun by Yakov Perelman)

*** ගණිත විනෝදය -ප්‍රගති ප්‍රකාශන නිවස මගින් නිකුත්කරන මුද්‍රණයේ දෝෂ සහිතය. 

මිලදී ගැනීමේදී රුසියාවේ මුද්‍රණය කරන ලද, ප්‍රගති ප්‍රකාශන මන්දිරය මගින් නිකුත් කරන පොත මිලදී ගැනීමට සැලකිලිමත් වන්න.

වයි.පෙරෙල්මාන් විසින් රචිත '' භෞතික විද්‍යා විනෝදය I සහ II ''  

(Physics for Entertainment - Book I & II by Yakov Perelman )

*** මෙම පොත් දෙකෙහි මුද්‍රණ දෝශ සහිතයි.
_________________________________________

ආතර් සී. ක්ලාක් සහ ෆෙඩ්‍රික් පෝල් විසින් රචිත '' අවසන් සිද්ධාන්තය ''

[විද්‍යා ප්‍රබන්ධ කෘතියකි - Science Fiction] (The Last Theorem by Arthur C. Clarke)

__________________________________________

English translations from Russian - 

Y. Perelman's Books

• Mathematics can be Fun -

• Book I - Figures for fun
• Book II - Algebra Can Be Fun

• Physics for Entertainment - Book I and Book II

• Fun with Maths and Physics

• Astronomy for Entertainment

Anatoly Markusha's Book

• Miracles on Wheels 

මැතමැටික්ස් යන ඉංග්‍රීසි වදන '' විද්‍යාව,ඥානය හෝ ඉගෙනීම '' යන අරුත් දෙන ග්‍රීක මැත්මා සහ '' ඉගෙනීමට ඇති ලෝලය '' යන අරුත් දෙන ග්‍රීක මැතමටිකෝස් ආදියෙන් බිදී ආවෙකි.

                     ගණිතය යනු විශ්ව භාෂාවකි. කලාවකි. ගණිතය බොහෝවිට අර්ථ දැක්වෙනුයේ ප්‍රමාණය,ව්යූහය,අවකාශය සහ විපරිණාමය යනාදී දෑ අධ්‍යයනය කෙරෙන්නා වූ විෂය ක්ෂේත්‍රයක් ලෙසය.

මෙම බ්ලොග් අඩවිය, ගණිතයට ආදරය කරන ශ්‍රී ලාංකික සැමදෙනාටම ඉදිරිපත් කරමි.