පුංචිකාලෙ අපිට ඍණයි ඍණයි ධනයි කිව්වම අපි ඉතිං ප්‍රශ්න නොකර පිලිගත්ත.ඒත් ඇහුවත් ගොඩක් දෙනෙක් දන්නෙ නැති දෙයක් තමයි මේක පැහැදිලි කරන  විදිය.අද අපි බලමු ඒක පැහැදිලි කරන හැටි.

ණය 
ණය, ඍණ සංඛ්‍යාවලට හොද උදාහරණයක්.අපි හිතමු ඔයා ඔයාගෙ නිවස උගස් තිබ්බ කියල.
එක මාසෙකට රු.700 ගෙවන්න ඕන කියල හිතමු.ඔයා මාස 6 යනකන් ගෙව්වෙ නෑ.(+6)
ඒ කියන්නෙ ඔයා එක මාසෙකට -රු.700 ගානෙ ණයයි.ඒ කියන්නෙ 
6 * -රු.700 = -රු.4,200 
මෙය ධන ඍණ ගුණිතයකට උදාහරණයක්.
දැන් ඔයා හිතනවා තව අවුරුද්දකට හරියන්න ගෙවන්න.ඒ කියන්නෙ  තව මාස 12 කට කලින්.(-12)
ඒ කියන්නෙ ඔයා දැන් රු.8,400 ගෙවනවා.
-12 * -රු.700=රු.8,400 

ඒක තේරුනේ නැත්නම් තව සරල උදාහරණයක් බලමු.
හිතන්න ඔයා නිමල්ට රු.100ක් ණයයි.
නිමල් ඔයාගෙන් රු.10 ගානෙ(-රු.10),තුන්වතාවක් ඉල්ලගන්නව(-3).*ඒ කියන්නෙ
එයා ඔයාට ආපහු රු.30ක් දෙන්න ඕන.ඒ කියන්නෙ ඔයා දැන් රු.70යි ණය. 
-රු.10 * -3 = +රු.30
(*තුන් වතාවක් ඉල්ලාගැනීම(ඉවතටගැනීම) නිසා තමයි -3 වුනේ.
රු.100න් අඩු විය යුතු නිසා තමයි -රු.10 වුනේ.)

දැන් අපි බලමු ගණිතමය විදියට ඔප්පු කරන හැටි. 

A Proof

Let a and b be any two real numbers. Consider the number x defined by

x = ab + (-a)(b) + (-a)(-b).

We can write

x = ab + (-a)[ (b) + (-b) ]       (factor out -a)
  = ab + (-a)(0)
  = ab + 0
  = ab.

Also,

x = [ a + (-a) ]b + (-a)(-b)      (factor out b)
  = 0 * b + (-a)(-b)
  = 0 + (-a)(-b)
  = (-a)(-b).

So we have      x = ab
and
      x = (-a)(-b)

Hence, by the transitivity of equality, we have
      ab = (-a)(-b).

වැඩි විස්තර සදහා මෙතනින් පිවිසෙන්න.

වැඩි විස්තර සදහා මෙතනින් පිවිසෙන්න.

ප්‍රෙහෙලිකාව 1.

රසකැවිලි වෙළෙන්දෙකුට විනිවිද නොපෙනෙන බඳුන් තුනක් ලැබිණ.එක බඳුනක මින්ට් රසකැවිලි අඩංගු වේ,අනෙකේ, ඇනිසීඩ් රසකැවිලිද,අනෙක් බඳුනේ මින්ට් සහ ඇනිසීඩ් මිශ්‍ර රසකැවිලිද අඩංගුය.

එම බඳුන් "මින්ට්" ,"ඇනිසීඩ්" සහ "මිශ්‍ර" ලෙස ලේබල් කර ඇත .නමුත් රසකැවිලි වෙළෙන්දා පැවසුවේ ලේබල් අලවා ඇත්තේ වැරදි බඳුන්වල බවයි.රසකැවිලි වෙළෙන්දාහට එම රසකැවිලි බඳුන් නිවැරදිව හඳුනාගැනීමට ඉන් ගතයුතු අවම රසකැවිලි ගණන කොපමණද?

පිළිතුර 1.

සමහර විට ඔබ සිතාවි මෙහෙම."ඒක ලෙහෙසියි,ඔයා බඳුන් වලින් එක ගානේ අරගෙන බලනවා."

නමුත් ඔයාට මිශ්‍ර එකෙන් ගන්න වෙන්නෙත් එක මින්ට් එකයි හෝ ඇනිසීඩ් එකයි.

ඔයා කොහොමද දන්නේ මිශ්‍ර එක මොකක්ද කියල?ඔයාට එහෙකට වඩා අරගන්න වෙනවා.

එහෙනම්, ඔයා තුනක් අරගන්න,එතකොට ඒ සේම ඇනිසීඩ් නම් ඔයාට සහතික කරගන්න පුළුවන්නේ

ඒක ඇනිසීඩ් බඳුන බව?...අහන්නේ අවම ගණන...මේක සම්භාව්‍යතාවය ගැන ගැටළුවක්.

එක රසකැවිල්ලක් අරගමු,සැඟවුන උපකාරය තමයි:හැම පෙට්ටියක්ම වැරදියට ලේබල් කරල.

එහෙමනම්,ඔයා මිශ්‍ර කියල ලේබල් කරපු එකෙන් එකක් අරගන්නවා.මොකද මිශ්‍ර වෙලා තියන එක ඒක වෙන්න බෑ.ගත්ත එක මින්ට් රසකැවිලි නම්,ඒක තමයි මින්ට් බඳුන.එතකොට මිශ්‍ර එක ?ඒක මින්ට් කියල ලේබල් කරපු බදුන වේවිද?නෑ.මොකද එයාලා වැරදියට ලේබල් කරල.ඒනිසා මිශ්‍ර එක තියෙන්නේ ඇනිසීඩ් කියල ලේබල් කරපු එකේ. එතකොට ඇනිසීඩ් රසකැවිලි තියෙන්නේ මින්ට් කියල ලේබල් කරපු එකේ.පිළිතුර තමයි:එක රසකැවිල්ලයි.

ප්‍රෙහෙලිකාව 2.

හොඳින් මුද්‍රා තැබූ කාමරයක දැල්වෙන විදුලි බුබුලක් තියනව,කාමරයෙන් පිටත ස්විච තුනක් තියනව.

තුනෙන් එකක් බල්බ් එක පත්තු කරවනවා.දොර වහල තියෙද්දී,ඔයාට නිතරම වගේ කැමති ස්විච දමන්න පුළුවන්.ඒත් ඔයා දොර අරිනකොට,ඔයාට කියන්න සිද්දවෙනවා ස්විච් තුනෙන් මොන ස්විච් එකද බල්බ් එක පත්තු කරන්නේ කියල.

පිළිතුර 2.

හිතමුකෝ අපි ස්විච් දෙකක් එබුවා,1 සහ 2.අපි දොර අරිනව විදුලි බුබුල දැල්වුනේ නැහැ.ඒ කියන්නේ හරි ස්විච් එක තමයි 3.ඒත්...විදුලි බුබුල දැල්වුනා නම්...?(විදුලි බුබුල දැල් වීමටද සම සම්භාවිතාවක් පවතී.)

උපක්‍රමේ තමා බල්බ් වල උණුසුම!අපි ස්විචයක් දානවා, 1. ටික වෙලාවක් එහෙම තියෙන්න දෙනව.ඊළගට ඒක ක්‍රියා විරහිත කරනව,දෙවැනි ස්විච් එක දාල දොර අරිනවා.බල්බ් එක පත්තුවුනොත්,නිවරදි ස්විච් එක තමයි දෙවැනි එක.ඒක පත්තුවෙන්නේ නැතුවත් රස්නෙයිනම්,නිවැරදි ස්විච් එක පලවෙනි එක,ඒක ක්‍රියා විරහිතයි සහ රත්වෙලා නැත්තම්,නිවැරදි ස්විච් එක තුන්වෙනි එක.

ප්‍රෙහෙලිකාව 3.

මිනිත්තු 4ක සහ මිනිත්තු 7ක වැලි ඔරලෝසු දෙකක් පාවිච්චි කරල මිනිත්තු 9ක කාලපරිච්ජේදයක්

වෙන් කරන්නේ කොහොමද?

Image credit - www.stperegrineparish.org

පිළිතුර 3.

ඔබ මතක තබාගතයුතු කරුණක් වන්නේ වැලි ඔරලෝසුවකින් එහි නියමිත අගයට වඩා අඩු කිසිම කාලයක් මැනගත නොහැකිය.එනම් විනාඩි 7 වැලි ඔරලෝසුවෙන් විනාඩි 5ක් මැනීම වැනි.මැනගත හැක්කේ 7 ගුණාකාර පමණි.නමුත් මෙහි ඔරලෝසු දෙකක් ඇත.අපි ඔරලෝසු දෙකම එකම වෙලාවට ක්‍රියාත්මක කරනව,මිනිත්තු 4 එකයි 7 එකයි.හතරවෙනි එක ඉවර උනාම මිනිත්තු හතරක් ගිහින් ඉවරයි.ඊළගට ඒක අනිත් පැත්ත හරවනවා.මිනිත්තු තුනකින් මිනිත්තු 7 එක ඉවරයි.අපි ඒක අනිත් පැත්ත හරෝනව.මිනිත්තු 4 එක දෙවැනි වතාවට අවසන් උනහම,මිනිත්තු 8ක් ගතවෙලා.ඒත් මිනිත්තු හතේ එකේ ගතවෙලා තියෙන්නේ විනාඩියයි.අපි ඒක අනිත් පැත්ත හරෝනව.එතකොට අපිට විනාඩි නමයක් ලැබෙනවා.

ප්‍රෙහෙලිකාව 4.

අසත්පුරුෂ භුමියේ හැම කෙනාම හැම වෙලේම බොරුකරනවා.සත්‍ය භූමියක,හැම කෙනාම හැම වෙලේම ඇත්ත කියනවා.දොරවල් දෙකක් තියන කාමරයක අමුත්තෙක් සිටිනවා.එක දොරක් නිදහස සදහාත් අනෙක් දොර එහි සිරවීම සදහාත්.දොරක් අසල සත්‍ය භුමියේ අය මුර කරනව.අනෙක් දොර අසල අසත්පුරුෂ භුමියේ අය.නිදහසේ දොර සොයාගැන්මට, අමුත්තාට එක මුරකරුවෙකුගෙන් එක ප්‍රශ්නයක් පමණක් ඇසිය හැක,

නමුත් ඔහු දන්නේ නෑ මොන මුරකරුවන්ද අසත්පුරුෂ භුමියේ අය වෙන්නේ,සත්‍ය භුමියේ අය වෙන්නේ කියල.එයා අහන ප්‍රශ්නේ මොකක්ද?

පිළිතුර 4.

එක මුරකාරයෙක් හැම වෙලේම ඇත්ත කියනවා ඒ ඔයා කියල හිතන්නකෝ.අනිත් කෙනා බොරු කියනවා, ඒ නිමල්...මම තමා කාමරේ හිරවෙලා ඉන්න කෙනා.මං ඇහුවොත් මොන දොරද හරි දොර කියල...මම දන්නේ නෑ කවුද බොරු කියන්නේ කියල,හිතාගන්න බෑ.නමුත් මං ඔයාගෙන් ඇහුවොත් හරි දොර මොකක්ද කියල නිමල් මොකක් කියාවිද කියල...හැම වෙලේම ඇත්ත කියන කෙනා විදියට ඔයා මට කියනවා එයා අරක(වැරදි දොර) කියාවි කියල. ඒ කියන්නෙ මම එයාලගෙන් අහන්න ඕන අනිත් කෙනා නිවැරදි දොර මොකක්ද කියල කියාවිද කියල.ඔය දෙන්නම වැරදි දොර පෙන්නනව,එතකොට මං අනිත් දොර තෝරාගන්නවා.

ප්‍රෙහෙලිකාව 5.

මෙම අංක පේලියෙහි රටාවක් සොයාගන්න.

8,5,4,9,1,7,6,10,3,2

පිළිතුර 5.

මෙම පේලියෙහි ඇති අංක වලට කියන ඉංග්‍රීසි නම සැලකූ විට ඉංග්‍රීසි හෝඩියේ අකාරාදී පිලිවෙලට ඇත.

ප්‍රශ්නය 6.

සසම්භාවී කාර්ඩ් පත් 20ක් පෙළට මුහුණ පහළට තියල තියෙනව.පහළට හරවා ඇති කාඩ් පතක් ඉහළට හරවා එයට දකුණු පස කාඩ් පත විරුද්ධ පැත්ත හැරවීමේ පියවරක්.හැරවීමට මොන කාඩ් පත තෝරගත්තත් මේ පියවර අනුපිළිවෙල අවසන් වන බව පෙන්වන්න.

පිළිතුර 6.

අපි කාඩ් දෙස බලන්න ඕනෙ කාඩ් ලෙස නෙවෙයි,අංක ලෙස.අපිට පුළුවන් මුහුණ පහළට ඇති කාඩ් හඳුන්වන්න "එක" කියල.මුහුණ ඉහලට ඇති කාඩ් පත් "බිංදු" කියල.මුලින් "එකේ" ඒව අනුපිළිවෙලක් වෙන්න ඕනෙ කාඩ් මුහුණ පහලට නිසා.ඒත් ටික වෙලාවකට පස්සෙ ඒක මේ වගේ වෙන්න ඕනෙ.

10011010

අපිට පේන විදිහට, ඒක ද්වීමය සංඛ්‍යාවක්.එතකොට මුහුණ පහළට ඇති කාඩ්පතක් මුහුණ ඉහලට හරවල ඒකට දකුණු පැත්තෙ කාඩ් එක විරුද්ධ පැත්ත හැරවීමේ පියවර "එක" ට පස්සෙ "එක" හැරවෙන්න පුළුවන් "බිංදුව" ට පස්සෙ "බිංදුව" බවට.

10000010

ඒක මේ වගේ. නැත්තම් ඒක "එක" ට පස්සෙ "බිංදුව" හැරවෙන්න පුළුවන් "බිංදුව" ට පස්සෙ "එක" ට.

10000001

කොහොමවුණත්, අපිට පේනව ද්වීමය ලෙස තියන සංඛ්‍යාව නිතිමතින් අඩු වෙන බව.ඒ කියන්නෙ අනුපිළිවෙල අවසන් වෙන්න ඕනෙ.මොකද ඔයාට බෑ ධන නිඛිලයක ඉඳන් දිගටම අඩු කරන්න ඒක ඍණ බවට හරවන්නෙ නැතුව.

 

**මෙම ප්‍රහේලිකා La Habitación de Fermat (Fermat's Room)(2007)  චිත්‍රපටයෙන් උපුටාගන්නා ලදී.