සුප්‍රකට චිත්‍රපට අධ්‍යක්ෂක Christopher Nolan මහතාගේ Interstellar (2014)  චිත්‍රපටයේ ඇති ටෙසරැක්ට් (Tesseract) එක මතකද? හතරවැනි මානය කෙසේ වියහැකිද?

   Image credit - interstellarfilm.fandom.com/wiki/Tesseract

ත්‍රිමාන (3D) - දිග, පළල සහ උස.  

තේරුම්ගැනීමේ පහසුවට අපි මාන දෙකක් විතරක් ඇති ලෝකයක් (Flat-land) ගැන සිතමු. 

(උස ශූන්‍යය ට ආසන්න යැයි උපකල්පනය කරමු) 

මේ ද්විමාන ලෝකයේ ජීවත්වෙන, ද්විමාන ජීවීන්ට ඉදිරියට, පිටුපසට, වමට සහ දකුණට ගමන් කළ හැකි නමුත්, ඉහළ සහ පහළ පිලිබඳ කිසිම අවබෝධයක් නැහැ. එහෙම ජීවියෙක් ත්‍රිමාන ලෝකයකට ගෙනත් බලමු.

Image credit - youtube.com/c/Mashpoe

ත්‍රිමාන ලෝකයේ ජීවත් වෙන අපිට තුන්වැනි මානයෙන් එහාට පේන්නේ නෑ වගේ, මේ ද්විමාන ජීවියාටත් මාන දෙකෙන් එහාට දකින්න බෑ. ඒත් අපිට එයා අවකාශයේ ඉන්න තැන ගැන හොද අවබෝධයක් තියෙනවා. 

Image credit - youtube.com/c/Mashpoe

උදාහරණයක් විදියට ඉහත රූපයේ පරිදි, තමා ද්විමාන ලෝකයේ තැනක සිරවී සිටිනවා යැයි මෙම ජීවියාට පෙනෙනවා (වම්පස).  

ඒත් ත්‍රිමාන ලෝකයේ සිටින අපිට, එය එසේ නොවන බව පෙනෙනවා (දකුණුපස).  

 දැන් අපි බලමු (පහත රූපයේ පරිදි) සාමාන්‍ය ගණකයක් ගැන. එයට එක දිශාවකින් ආලෝකය පතිත වනවිට, එහි සෙවණැල්ලෙහි හැඩය බලන්න.

Image credit - artofmathematics.org

සෙවනැල්ල දිස්වන්නේ (ද්විමාන) සමචතුරස්‍ර දෙකක, එකක කොන් සියල්ල අනිත් එකේ අනුරූප කොන් සමග (පහත රූපයේ පරිදි) යාකර ඇති ආකාරයට යි.

 (ත්‍රිමාන) ඝනකයක් හතරවැනි මානයට ගෙන ගියොත් සෑදෙන හැඩයට හයිපර් කියුබ් (4D Hypercube) හෝ ටෙසරැක්ට් (Tesseract) එක යැයි කියනු ලබයි. එහි හැඩය කෙසේ වේදැයි අපට සිතාගත නොහැක. නමුත්, එහි සෙවණැල්ල කෙසේ වේදැයි සිතාගත හැකියි.

ඉහත පරිදිම (ත්‍රිමාන) ඝනකයන් දෙකක අනුරූප කොන් (පහත රූපයේ පරිදි) යාකිරීම මගින් එය සාදාගත හැකියි.

An animation showing how to create a tesseract from a point.

gif credit - en.wikipedia.org

A rotating hypercube (tesseract)

gif credit - en.wikipedia.org

සිව්මාන ජ්‍යාමිතිය (Four-Dimensional Geometry)

ඉයුක්ලිඩියානු ජ්‍යාමිතියට (Euclidean geometry) තවත් එක් මාණයක් එකතු කිරීම සිව්මාන ජ්‍යාමිතිය යි.

උදාහරණයක් ලෙස, 

ද්විමාන වෘතය [Circle - 2D], ත්‍රිමානව ගෝලයකි [Sphere - 3D]. එයට හතරවැනි හෝ ඊට වඩා මානයන් [4D or more] එකතු කරාම ඒක Hypersphere එකක් වෙනවා. 

n මාන සංඛ්‍යාවක් සහිත Hypersphere එකක මතුපිට වර්ගඵලය මෙම සූත්‍රය මගින් ලබාගත හැකිය.

  

මෙහි

 යනු ගැමා ශ්‍රිතය (gamma function) යි.

එවිට ද්විමාන (S2), ත්‍රිමාන (S3) සහ සිව්මාන (S4) සදහා මෙම අගයන් ලැබේ. 

අප දන්නා පරිදි (2D) වෘතයක වටේදිග (පරිධිය)  

 

මගින් ද, (3D) ගෝලයක මතුපිට වර්ගඵලය 

 

මගින් ද ලබා ගත හැකිය. එසේම (4D) සිව්මාන hypersphere එකක මතුපිට වර්ගඵලය 

  මගින් ලබාගත හැකියි.

n මාන සංඛ්‍යාවක් සහිත Hypersphere එකක පරිමාව මෙම සූත්‍රය මගින් ලබාගත හැකිය.

එවිට ද්විමාන (V2), ත්‍රිමාන (V3) සහ සිව්මාන (V4) සදහා මෙම අගයන් ලැබේ.

අප දන්නා පරිදි (2D) වෘතයක වර්ගඵලය 

 

මගින් ද, (3D) ගෝලයක පරිමාව 

 

මගින් ද ලබා ගත හැකිය. එසේම (4D) සිව්මාන hypersphere එකක පරිමාව 

  මගින් ලබාගත හැකියි.

______________________________

මෙම ලිපිය, 

• කාර්ල් සේගන් (Carl Sagan) මහතාගේ මෙම වීඩියෝව,
• Mashpoe YouTube channel එකේ මෙම වීඩියෝව සහ
• Wolfram MathWorld හි මෙම ලිපිය ආශ්‍රයෙන් නිර්මාණය කරන ලදී.

වැඩි විස්තර සදහා මෙම සහ මෙම වෙබ්ලිපි බලන්න.